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福建省晋江市第二中学高中数学 初高中衔接教材 第三讲 一元二次方程

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第三讲 一元二次方程根与系数的关系
现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用,而一元二次方程的根的判断 式及根与系数的关系,在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用.本节将对一元 二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述. 一、一元二次方程的根的判断式 一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) ,用配方法将其变形为:

(x ?
2

b 2 b 2 ? 4ac ) ? 2a 4a 2

(1) 当 b ? 4ac ? 0 时,右端是正数.因此,方程有两个不相等的实数根:

x?

?b ? b2 ? 4ac 2a
b 2a

2 (2) 当 b ? 4ac ? 0 时,右端是零.因此,方程有两个相等的实数根: x1,2 ? ?

(3) 当 b ? 4ac ? 0 时,右端是负数.因此,方程没有实数根.
2

由于可以用 b ? 4ac 的取值情况来判定一元二次方程的根的情况. 因此, 把 b ? 4ac 叫做一元二次方
2 2

程 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的根的判别式,表示为: ? ? b ? 4ac
2

【例 1】不解方程,判断下列方程的实数根的个数: (1) 2 x ? 3x ? 1 ? 0
2

(2) 4 y ? 9 ? 12 y
2

(3) 5( x ? 3) ? 6 x ? 0
2

解:(1)

? ? (?3)2 ? 4 ? 2 ?1 ? 1 ? 0 ,∴ 原方程有两个不相等的实数根.

(2) 原方程可化为: 4 y 2 ? 12 y ? 9 ? 0

? ? (?12)2 ? 4 ? 4 ? 9 ? 0 ,∴ 原方程有两个相等的实数根.
(3) 原方程可化为: 5x ? 6 x ? 15 ? 0
2

? ? (?6)2 ? 4 ? 5 ?15 ? ?264 ? 0 ,∴ 原方程没有实数根.
说明:在求判断式时,务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式. 练:说出下列各方程的根的情况 (1) x ? x ? 3
2

(2) 4 x ? 4 x ? 1
2 2

(3) x ? x ? 2
2

【例 2】已知关于 x 的一元二次方程 3x ? 2 x ? k ? 0 ,根据下列条件,分别求出 k 的范围: (1) 方程有两个不相等的实数根; (3)方程有实数根; (2) 方程有两个相等的实数根 (4) 方程无实数根.

解: ? ? (?2)2 ? 4 ? 3 ? k ? 4 ? 12k

1 ; 3 1 (3) 4 ? 12k ? 0 ? k ? ; 3
(1) 4 ? 12k ? 0 ? k ? 二、一元二次方程的根解法

1 ; 3 1 (4) 4 ? 12k ? 0 ? k ? . 3
(2) 4 ? 12k ? 0 ? k ?

进一步地,在一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 有实数根的前提下,该实数根具体是多?这就涉 及到一元二次方程的根的求法 解法一(因式分解法)若 ax ? bx ? c 可分解为 ( px ? q)(mx ? n) ,
2

那么由 ax ? bx ? c ? 0 可得 ( px ? q)(mx ? n) ? 0 从而得到 x ? ?
2

n q 或x ?? m p

【典例】解一元二次方程 x ? x ? 2 ? 0
2

解:原方程可化为 ( x ? 1)( x ? 2) ? 0
2

故 x ? 1或 ? 2
2 2

练:解一元二次方程(1) x ? 4 x ? 12 ? 0 (2) 2 x ? x ? 6 ? 0 (3) ?4 x ? 5x ? 1 ? 0 解法二(配方法)一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) ,用配方法将其变形为:

b 2 b 2 ? 4ac (x ? ) ? 两边开方即可得到方程的根 2a 4a 2
【典例】解一元二次方程 x ? x ? 2 ? 0
2

解:原方程可化为 ( x ? ) ?
2

9 1 9 ? 0 即 ( x ? )2 ? 4 2 4 1 3 1 3 故x? ?? 从而 x ? ? ? 即 x ? 1或 ? 2 2 2 2 2
2 2 2

1 2

练:解一元二次方程(1) x ? 4 x ? 12 ? 0 (2) 2 x ? x ? 6 ? 0 (3) ?4 x ? 5x ? 1 ? 0 解法三(公式法)对于一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 (a ? 0) ,
2

(1) 当 b ? 4ac ? 0 时,右端是正数.因此,方程有两个不相等的实数根:
2

x?

?b ? b2 ? 4ac 2a
b 2a

2 (2) 当 b ? 4ac ? 0 时,右端是零.因此,方程有两个相等的实数根: x1,2 ? ?

【典例】解一元二次方程 x ? x ? 2 ? 0
2

解:由 ? ? b ? 4ac ? 9 ? 0 所以原方程有两个不相等的实数根
2

所以 x ?

?b ? b2 ? 4ac ?1 ? 9 ?1 ? 3 即 x ? 1或 ? 2 ? ? 2 2 2a
2 2 2

练:解一元二次方程(1) x ? 4 x ? 12 ? 0 (2) 2 x ? x ? 6 ? 0 (3) ?4 x ? 5x ? 1 ? 0 三、一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的两个根为:

?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac x? ,x ? 2a 2a
所以: x1 ? x2 ?

?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac b ? ?? , 2a 2a a

x1 ? x2 ?

?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac (?b)2 ? ( b2 ? 4ac )2 4ac c ? ? ? 2 ? 2a 2a a (2a)2 4a

定理:如果一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的两个根为 x1 , x2 ,那么:

b c x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? a a
说明:一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现,所以通常把此定理称为”韦 达定理”.上述定理成立的前提是 ? ? 0 . 【例 3】若 x1 , x2 是方程 x ? 2 x ? 2007 ? 0 的两个根,试求下列各式的值:
2

(1) x12 ? x22 ; (2)

1 1 ? ; x1 x2

(3) ( x1 ? 5)( x2 ? 5) ;

(4) | x1 ? x2 | .

分析:本题若直接用求根公式求出方程的两根,再代入求值,将会出现复杂的计算.这里,可以利用 韦达定理来解答. 解:由题意,根据根与系数的关系得: x1 ? x2 ? ?2, x1 x2 ? ?2007 (1) x12 ? x22 ? ( x1 ? x2 )2 ? 2x1 x2 ? (?2)2 ? 2(?2007) ? 4018 (2)

1 1 x1 ? x2 ?2 2 ? ? ? ? x1 x2 x1 x2 ?2007 2007

(3) ( x1 ? 5)( x2 ? 5) ? x1 x2 ? 5( x1 ? x2 ) ? 25 ? ?2007 ? 5(?2) ? 25 ? ?1972 (4) | x1 ? x2 |?

( x1 ? x2 ) 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? (?2) 2 ? 4(?2007) ? 2 2008

说明:利用根与系数的关系求值,要熟练掌握以下等式变形:

x12 ? x22 ? ( x1 ? x2 )2 ? 2x1 x2 ,

1 1 x1 ? x2 , ( x1 ? x2 )2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4x1 x2 , ? ? x1 x2 x1 x2

| x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 , x1 x22 ? x12 x2 ? x1 x2 ( x1 ? x2 ) ,

x13 ? x23 ? ( x1 ? x2 )3 ? 3x1 x2 ( x1 ? x2 ) 等等.韦达定理体现了整体思想.
练:若 x1 , x2 是方程 2 x ? 5 x ? 3 ? 0 的两个根,试求下列各式的值
2

(1) x1 ? x2 (3)

(2) x1 x2

(3) x12 ? x22 ; (5) | x1 ? x2 |

1 1 ? ; x1 x2

(4) ( x1 ? 5)( x2 ? 5) ;



*
A 组 )

1.一元二次方程 (1 ? k ) x ? 2 x ? 1 ? 0 有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围是(
2

A. k ? 2
2

B. k ? 2, 且k ? 1 C. k ? 2

D. k ? 2, 且k ? 1

2.若 x1 , x2 是方程 2 x ? 6 x ? 3 ? 0 的两个根,则 A. 2 B. ?2

1 1 ? 的值为( ) x1 x2
1 2
) D. ?5或3
2

C.

D.

9 2

3 . 已 知 菱 形 ABCD 的 边 长 为 5 , 两 条 对 角 线 交 于 O 点 , 且 OA 、 OB 的 长 分 别 是 关 于 x 的 方 程

x2 ? (2m ? 1) x ? m2 ? 3 ? 0 的根,则 m 等于(
A. ? 3 B. 5

C. 5或 ? 3

4 . 若 t 是 一 元 二 次 方 程 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的 根 , 则 判 别 式 ? ? b ? 4ac 和 完 全 * 方 式

M ? (2at ? b)2 的关系是( )
A. ? ? M B. ? ? M C. ? ? M D.大小关系不能确定

2 2 5.若实数 a ? b ,且 a , b 满足 a ? 8a ? 5 ? 0, b ? 8b ? 5 ? 0 ,则代数式

b ?1 a ?1 ? 的值为( ) a ?1 b ?1

A. ?20
2

B. 2

C. 2或 ? 20

D. 2或20

6.如果方程 (b ? c) x ? (c ? a) x ? (a ? b) ? 0 的两根相等,则 a, b, c 之间的关系是 ______ 7.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程 2 x ? 8 x ? 7 ? 0 的两个根,则这个直角三角形的斜边
2

长是 _______ . 8.若方程 2 x2 ? (k ? 1) x ? k ? 3 ? 0 的两根之差为 1,则 k 的值是 _____ . 9.设 x1 , x2 是方程 x2 ? px ? q ? 0 的两实根, x1 ? 1, x2 ? 1 是关于 x 的方程 x2 ? qx ? p ? 0 的两实根,则

p = _____ , q = _____ .
10.已知实数 a, b, c 满足 a ? 6 ? b, c2 ? ab ? 9 ,则 a = _____ , b = _____ , c = _____ . 11.对于二次三项式 x ? 10 x ? 36 ,小明得出如下结论:无论 x 取什么实数,其值都不可能等于 10.您
2

是否同意他的看法?请您说明理由.
2 12.若 n ? 0 ,关于 x 的方程 x ? (m ? 2n) x ?

1 m mn ? 0 有两个相等的的正实数根,求 的值. 4 n

13.已知关于 x 的一元二次方程 x ? (4m ? 1) x ? 2m ? 1 ? 0 .
2

(1) 求证:不论为任何实数,方程总有两个不相等的实数根; (2) 若方程的两根为 x1 , x2 ,且满足 14.已知关于 x 的方程 x ? (k ? 1) x ?
2

1 1 1 ? ? ? ,求 m 的值. x1 x2 2

1 2 k ? 1 ? 0 的两根是一个矩形两边的长. 4

(1) k 取何值时,方程存在两个正实数根? (2) 当矩形的对角线长是 5 时,求 k 的值. B 组

1.已知关于 x 的方程 (k ? 1) x2 ? (2k ? 3) x ? k ? 1 ? 0 有两个不相等的实数根 x1 , x2 . (1) 求 k 的取值范围; (2) 是否存在实数 k ,使方程的两实根互为相反数?如果存在,求出 k 的值;如果不存在,请您说明 理由. 2 . 已 知 关 于 x 的 方 程 x ? 3x ? m ? 0 的 两 个 实 数 根 的 * 方 和 等 于 11 . 求 证 : 关 于 x 的 方 程
2

(k ? 3) x2 ? kmx ? m2 ? 6m ? 4 ? 0 有实数根.
3.若 x1 , x2 是关于 x 的方程 x ? (2k ? 1) x ? k ? 1 ? 0 的两个实数根,且 x1 , x2 都大于 1.
2 2

(1) 求实数 k 的取值范围; (2) 若

x1 1 ? ,求 k 的值. x2 2

第三讲 一元二次方程根与系数的关系*题答案 A组 1. B 2. A 3.A 4.A 5.A 6. a ? c ? 2b, 且b ? c 7. 3 8. 9 或 ? 3 9. p ? ?1, q ? ?3 11.正确 12.4

10. a ? 3, b ? 3, c ? 0 13. (1)? ? 16m ? 5 ? 0
2

(2)m ? ?

1 2

14. (1)k ?

3 2

(2)k ? 2
B组

13 且k ? 1 (2) 不存在 12 2. m ? 1 (1)当 k ? 3 时,方程为 3x ? 1 ? 0 ,有实根;(2) 当 k ? 3 时, ? ? 0 也有实根. 3 3.(1) k ? 且k ? 1 ; (2) k ? 7 . 4
1. (1) k ?




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