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辽宁省瓦房店市第八初级中学数学九年级下《28.2解直角三角形》课件新人教版_图文

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B 锐角三角函数

sinA 、cosA、tanA 、

cotA分别等于直角三角形 中哪两条边的比?

C┓

A

珠穆朗玛峰,海拔8844.43米,为世界第一高 峰,位于喜马拉雅山中段之中尼边界上、西藏日喀 则地区定日县正南方.峰顶终年积雪,一派圣洁景 象.珠峰地区拥有4座8000米以上、38座7000米以 上的山峰,被誉为地球第三级.

珠穆朗玛峰那
么高,它的高度是 怎样测出来的?

测量珠峰高程,首先确定珠峰海拔高程起算 点.我国是以青岛验潮站的黄海海水面为海拔零 起始点(水准原点),因为测绘人员已取得西藏 拉孜县相对青岛水准原点的精确高程,测量队只 需要从拉孜起测.前半程仍采用传统而精确的水 准测量法,每隔几十米竖立一个标杆,通过水准 仪测出高差,一站一站地将高差累加起来就可得 出准确数字.这样一直传递到珠峰脚下6个峰顶交 会测量点.

当精确高程传递至珠峰脚下的6个峰顶交 会测量点时,通过在峰顶竖立的测量觇标,运 用“勾股定理”的基本原理,推算出峰顶相对 于这几个点的高程差.
最后,通过进行重力、大气等多方面的改 正计算,确定珠峰高程.GPS测量,则是将 GPS测量设备带至峰顶直接获取数据,然后通 过一系列的复杂计算取得珠峰精确高程.

教学目标
【知识与能力】
1.掌握直角三角形的边角关系; 2.会运用勾股定理、直角三角形的两个锐 角互余及锐角三角函数解直角三角形.
【过程与方法】
通过综合运用勾股定理,直角三角形的两 个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形,逐 步分析问题、解决问题的能力.
【情感态度与价值观】
通过本节的学习,渗透数形结合的数学思 想,培养良好的学习习惯.

教学重难点
重点:
直角三角形的解法.
难点:
三角函数在解直角三角形中的灵活运用.

直角三角形ABC中,∠C=90°,a、 b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量 关系呢?
B

c

a



A

C

b

B

c

a



A

C

b

6 个 元

三边

5

两个锐角 个



一个直角(已知)

△ABC中,∠C为直角,∠A,∠B,∠C 所对的边分别为a,b,c,且b=3,∠A=30°, 求∠B,a,c.
B

c?

? a?



30° 3

A

C

b

解直角三角形的依据

(1)三边之间的关系

a2+b2=c2(勾股定理);

(2)锐角之间的关系

∠ A+ ∠ B= 90?

(3)边角之间的关系

A

sin A ? a c

tan A ? a b

cot a ? b a

B

c

a



b

C

cos A ? b c

探究

在下图的Rt△ABC中, (1)根据∠A=60°,斜边AB=6,试求出这 个直角三角形的其他元素.

∠B=30°;

A

AC=3,

BC= 3 3

┓ C

B

(2)根据AC=3,斜边AB=6,试求 出这个直角三角形的其他元素?

∠B=30°;

A

∠A=60,

BC= 3 3

┓ C

B

结论
在直角三角形的六个元素中,除直角外, 如果再知道其中的两个元素(至少有一个是 边),就可求出其余的元素.

知识要点
解直角三角形
在直角三角形中,由已知元素求未知 元素的过程,叫解直角三角形.

【例1】在△ABC中,∠C=90°,c=8, ∠B=40°,解这个直角三角形(精确到0.1) .
B

a

c

┓ Cb

A

解:∠A=90°- 40°=50°.

sin A ? sin40? ? 0.6,

sin A ? a ? a ? 0.6, c8
?a ? 4.8.

b ? c2 ? a2 ? 82 ? 4.82 ? 6.4

【例2 】在△ABC中,∠C=90°,a=5,

b?

11

,求∠A、∠B、c边. B

a

c

┓ Cb

A

解:c ? a2 ? b2 ? 52 ? ( 11 )2 ? 6
sin A ? a ? 5 ? 0.8 c6
∴∠A≈56.1°, ∴∠B=90°-56.1°=32.9°.

小练习

(1)在△ABC中,∠C=90°,b=30,c=40,
解直角三角形. B

a

c

┓ Cb

A

a ? 10 7 ∠A=41.4° ∠B=48.6°

(2) △ABC中,∠C=90°,a、b、c分别

为∠A、∠B、∠C的对边,

Ⅰ.a=6,sinA=

2 5

,求b,c,tanA;

Ⅱ.a+c=12,b=8,求a,c,sinB.

B

a

c

┓ Cb

Ⅰ. b= 3 21 c=15

tan A ? 2 21 21

Ⅱ.a ? 26 ,?????c ? 10 ,

A

3

3

sin B ? 12 26 13

(3) 在△ABC中,∠C为直角,∠A、 ∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,且c=287.4, ∠B=42°6′,解这个三角形.
∠A=47°54′.
a≈213.3. b≈192.7.

归纳

已知

两边

两直角边 一斜边,一直角边

一边一角

一锐角,一直角边 一锐角,一斜边

优选关系式
已知斜边求直边,正弦余弦很方便; 已知直边求直边,正切余切理当然; 已知两边求一角,函数关系要选好; 已知两边求一边,勾股定理最方便; 已知锐角求锐角,互余关系要记好; 已知直边求斜边,用除还需正余弦; 计算方法要选择,能用乘法不用除.

仰角和俯角

视线



仰角



线

俯角

水平线

视线
在进行测量时: 从下向上看,视线与水平线的夹角叫做仰角; 从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角.

方向角

如图:点A在O的北偏东30° 点B在点O的南偏西45°(西南方向)
北A
30°

西

O



45°

B



【例3 】 如图, 在上海黄埔江东岸,矗 立着亚洲第一的电视塔“东方明珠”,某校学 生在黄埔江西岸B处,测得塔尖D的仰角为 45°,后退400m到A点测得塔尖D的仰角为 30°,设塔底C与A、B在同一直线上,试求该 塔的高度.
D

A

30°

45° C

B

解: 设塔高CD=x m 在Rt△BCD中,∵∠DNC=45° ∴BC=x ∴CA=400+x 在Rt△ACD中,
∵∠DAC=30° ∴AC=xtan60°=400+x
x ? 340 ? 200( 3 ? 1) 3 ?1
∴塔高CD 为 200( 3 ? 1) m.

小练习
(1)如图,某飞机于空中A处探测到目 标C,此时飞行高度AC=1500米,从飞机上 看地平面控制点B的俯角a=25°,求飞机A 到控制点B距离(精确到1米).
A α



B

C

A α



解:在Rt△ABC中

B
sin B ? AC

C

AB

∴ AB ? AC ? AC ? 1200 ? 3000.0(米) sin B sin 25? 0.4

答:飞机A到控制点B距离为3000.0米.

小练习
(2)如图,某海岛上的观察所A发现海上某船只 B并测得其俯角α=82°.已知观察所A的标高(当水 位为0m时的高度)为45m,当时水位为+2m,求观察 所A到船只B的水平距离BC(精确到0.01m).

解: cot A ? AC , BC
? BC ? AC ? 45 ? 2 ? 43 ? 307.14(m) cot A cot 82? 0.14
所以观察所A到船只B的水平距离BC为307.14m.

【例4】如图,海岛A四周45海里周围内 为暗礁区,一艘货轮由东向西航行,在B处 见岛A在北偏西60?,航行18海里到C,见岛A 在北偏西45?,货轮继续向西航行,有无触 礁的危险?

P1

P

A

45? 60?

D

C

B

解:过点A作AD⊥BC于D,设AD=x ∵ ∠PBA= 60?, ∠P1CA= 30?, ∴ ∠ABC=30?, ∠ACD= 30?,
在Rt△ADC中, CD=AD?cot∠ACD= x?cot60?, 在Rt△ADB中, B18D=A? 9D(3??c3 )ot45?= x?cot45?,
cot 45? ? cot 60?
∵ BD-CD=BC,BC=18 ∴ x?cot45?- x?cot60?=18
∴ x=
≈9×(3+1.732)=42.588 < 45
答:货轮有触礁危险.

小练习
(1)如图,一艘渔船正以40海里/小时的速 度由西向东赶鱼群,在A处看某小岛C在船的北偏 东60°,半个小时后,渔船行止B处,此时看见小 岛C在船的北偏东30°.已知以小岛C为中心,周 围15海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危 险区,问这艘渔船继续向东追赶鱼群,是否有进 入危险区的可能?

解:设BD=x 海里 由题意得AB=20, ∴AD=20+x 在Rt△ACD和Rt△BCD中,
CD=ADtan30°=BDtan60°
( 20 ? x ) 3 ? x ? 3 3
∴x=10 CD ? 10 tan 60? ? 10 3 ? 17.32 >15 所以这艘渔船继续向东追赶鱼群,不会进入危险区.

小练习

(2)正午8点整,一渔轮在小岛O的北偏东 30°方向,距离等于20海里的A处,正以每小时10 海里的速度向南偏东60°方向航行.那么渔轮到 达小岛O的正东方向是什么时间?(精确到1 分).

A

10时44分

60°

B OC

小练习
(3)如图,海岛A的周围15海里内有暗礁,鱼 船跟踪鱼群由西向东航行,在点B处测得海岛A位于 北偏东60°,航行16海里到达点C处,又测得海岛A 位于北偏东30°,如果鱼船不改变航向继续向东航 行.有没有触礁的危险?
有触礁的危险

【例5】燕尾槽的横断面是等腰梯形,下 图是一燕尾槽的横断面,其中燕尾角B是45°, 外口宽AD是180mm,燕尾槽的深度是70mm, 求它的里口宽BC(精确到1mm).

解:等腰梯形中,AD=180mm,AE=70mm, ∠B=45°AE⊥BC ∵ tan B ? AE
BE 又∵BE=EC
∴ BE ? AE ? 70 ? 70
tan B tan 45?
∴ BC ? BE ? EF ? FC ? 2BE ? AD
? 2? 70 ? 180 ? 320
答:它的里口宽BC长为320mm.

遇到有关等腰梯形的问题,应考虑如何添加 辅助线,将其转化为直角三角形和矩形的组合图 形,从而把求等腰梯形的下底的问题转化成解直 角三角形的问题.

小练习
如图,在离地面高度5米处引拉线固定电线杆, 拉线和地面成60°角,求拉线AC的长以及拉线下 端点A与杆底D的距离AD(精确到0.01米).
AC约为5.77米 AD约为2.89米

小练习

(2)如图,在等腰梯形ABCD中,DC∥AB,

DE⊥AB于E,AB=10,DE=6, cosA= 3 ,求

CD的长.

5

CD的长为1

坡度、坡角
坡面的铅直高度h和水平宽度的比叫做坡 度(或叫做坡比),一般用i表示.把坡面与 水平面的夹角α叫做坡角.
h
?
i ? h ? tan ? (? 坡角)

【例6 】(1)如图,温州某公园入口处原有 三级台阶,每级台阶高为30cm,深为30cm.为方 便残废人士,现拟将台阶改为斜坡,设台阶的起 始点为A,斜坡的起始点为C,现将斜坡的坡角 ∠BCA设计为12°,求AC的长度. (sin12°≈ 0.2079)

解: 由题意得,BD=60
在Rt△BDC中,∠C=12°
BD ? tan C CD CD ? BD ? 60
tan C tan12?
? 60 ? 282 0.2126
∴ AC=282-60=222(cm)

(2)如图,在山坡上种树,要求株距 (相邻两树间的水平距离)是5.5m,测得斜 坡的倾斜角是24°,求斜坡上相邻两树的坡 面距离是多少(精确到0.1m).

上述问题可以归结为: 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5.5, ∠A=24°,求AB.
解:在Rt△ABC中, ∴ cos A ? AC AB
AB ? AC ? 5.5 ? 6.0(米) cos A 0.9135
答:斜坡上相邻两树的坡面距离是6米.

小练习
(1)如图,沿AC方向开山修渠,为了加 快施工速度,要从小山的另一边同时施工,从 AC上的一点B取∠ABD=140°,BD=500m, ∠D=50°,那么开挖点E离D多远(精确到 0.1m),正好能使A、C、E成一条直线?

解:要使A、C、E在同一直线上,则∠ABD是 △BDE的一个外角. ∴∠BED=∠ABD-∠D=90° ∴DE=BD·cosD=500×0.6428
=321.400≈321.4(m) 答:开挖点E离D为321.4米,正好能使A、C、E 成一直线.

小练习
(2)如图 ,水库大坝的横断面是梯形,坝顶 宽6m,坝高23m,斜坡AB的坡度i=1∶3,斜坡CD 的坡度i=1:2.5,求斜坡AB的坡面角α,坝底宽AD 和斜坡AB的长(精确到0.1m).
坝底AD的宽为 132.5m,斜坡AB的 长为72.7m.

归纳
利用解直角三角形的知识解决实际问 题的一般过程是:
(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平 面图形,转化为解直角三角形的问题);
(2)根据条件的特点,适当选用锐角三角 函数等去解直角三角形;
(3)得到数学问题的答案; (4)得到实际问题的答案.

课堂小结

1.解直角三角形的依据

(1)三边之间的关系 a2+b2=c2(勾股定理);

(2)锐角之间的关系 ∠ A+ ∠ B= 90?

B

(3)边角之间的关系

c

a



csoins A ?? ba cc
tan A ? a b

A
cot A ? b a

b

C

2.利用解直角三角形的知识解决 实际问题的一般过程是:
(1)将实际问题抽象为数学问题(画出 平面图形,转化为解直角三角形的问题);
(2)根据条件的特点,适当选用锐角三 角函数等去解直角三角形;
(3)得到数学问题的答案; (4)得到实际问题的答案.

随堂练习

1.在△ABC中,∠C=90°,解这个直角三角形.

⑴∠A=60°,斜边上的高CD = 3 ;

⑵∠A=60°,a+b=3+ 3 .

B

解:(1)∠B = 90°-∠A = 30°

CD

3

ACB=Cs?inABA2 ?

?
AC

sin 600
2 ? 42 ? 22 ?

?2
23

AB

?

AC cos A

?

2 cos 600

?4 C┓

D
60° A

2.在Rt△ABC中∠C=90°,AD=2AC=2BD,

且DE⊥AB.

(1)求tanB;

(2)若DE=1,求CE的长.

A

tan B ? 2

D

4

C

E

CE=5 B

3.如图,在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,

求:sinB,cosB,tanB的值.

A

解: 过点A作AD⊥BC于D,垂足为D

∵AB=AC=13, AD⊥BC,BC=10

∴BD=CD=5

AD2 ? BD2 ? AB2
∴AD=12
?sin B ? AD ? 12 AB 13



B

DC

cos B ? BD ? 5 ????? tanB ? AD ? 12

AB 13

BD 5

4.为测量松树AB的高度,一个人站在距

松树20米的E处,测得仰角∠ACD=56?,已知

人的高度是1.76米,求树高(精确到0.01

米).

A 解:在Rt△ACD中,

tgC=AD/CD,

C 56° E

∴AD=CDtanC=BEtanC =20×tan56? =20×1.4826≈29.65(米).

D ∴AB=AD+BD=29.65+1.76

B

=31.41(米).

答:树高31.41米.

5.如图,在△ABC中,已知AC=8,
∠C=75°,∠B= 45°,求△ABC的面积.
A
解:过C作CD⊥AB于D, D
∵ ∠B=45°,∠ACB=75° ∴∠A=60°

∵sinA= CD
AC

cosA= AD
AC

B

450

∴CD=AC·sin60°= 4 3 AD=AC·cos60°=4

75° C

∵ ∠BDC = 90° ∴∠BCD=45°

∴BD=CD= 4 3

? ? ∴S△ABC=

1 AB ?CD ? 1 4 3 ? 4 ? 4 3 ? 24 ? 8 3

2

2

6.我军某部在一次野外训练中,有一辆坦克

准备通过一座小山,已知山脚和山顶的水平距离为

1000米,山高为580米,如果这辆坦克能够爬30°

的斜坡,试问:它能不能通过这座小山?

B

570米

A

1000米

C

解:∵ BC⊥AC , BC=570米 , AC=1000米

∴tanA = BC
AC

580
= 1000

= 0.58

3

∵tan 30°= ≈0.577 <58

3

tanA>tan30°

∴∠A > 30°∴这辆坦克不能通过这座小山.

习题答案
1. 4 ? 2 3 2. AB = 6.18m,AD = 3.63m. 3. 143m. 4. 4 221m.



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