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[精品]2019届高考数学二轮复*专题七概率与统计课时作业十八概率随机变量及其分布列理80

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精品试卷

课时作业(十八) 概率、随机变量及其分布列

1.(2017·山西运城 4 月模拟)已知五条长度分别为 1,3,5,7,9 的线段,现从这五条线段中任取三条,则所取

三条线段能构成一个三角形的概率为( )

A.110 B.130

1

7

C.2 D.10

解析:从五条中任取三条,共有 C35=10 种情况.其中仅 3、5、7,3、7、9,5、7、9 三种情况可以构成三角形, 故构成三角形的概率 P=130.

答案:B

2.(2017·洛阳市第一次统一考试)若 θ

∈[0,π ],则 sin(θ

+π3

1 )>2成立的概率为(

)

A.13 B.12

C.23 D.1

解析:依题意,当 θ ∈[0,π ]时,θ +π3 ∈[π3 ,43π ],由 sin(θ +π3 )>12得π3 ≤θ +π3 <56π ,0≤θ <π2 .因

此,所求的概率等于π2 ÷π =12,选 B.

答案:B

3.抛掷一枚均匀的骰子(骰子的六个面上分别标有 1,2,3,4,5,6 个点)一次,观察掷出向上的点数,设事件 A

为掷出向上为偶数点,事件 B 为掷出向上为 3 点,则 P(A∪B)=( )

12 A.3 B.3

C.12 D.56

解析:事件 A 为掷出向上为偶数点,

所以 P(A)=12.事件 B 为掷出向上为 3 点,所以 P(B)=16,

又事件 A,B 是互斥事件,事件(A∪B)为事件 A,

B 有一个发生的事件,

所以 P(A∪B)=23.

答案:B

4.(2016·广州市综合测试一)在*面区域{(x,y)|0≤x≤1,1≤y≤2}内随机投入一点 P,则点 P 的坐标(x,y)

满足 y≤2x 的概率为( )

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11 A.4 B.2 C.23 D.34
11 解析:依题意作出图象如图,则 P(y≤2x)=SS正阴方影形=2×122×1=14.

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答案:A 5.(2017·武汉市武昌区调研)在区间[0,1]上随机取一个数 x,则事件“log0.5(4x-3)≥0”发生的概率为 () A.34 B.23
11 C.3 D.4
3 解析:因为 log0.5(4x-3)≥0,所以 0<4x-3≤1,即34<x≤1,所以所求概率 P=11- -40=14. 答案:D 6.(2017·安徽省两校阶段性测试)将三颗骰子各掷一次,记事件 A=“三个点数都不同”,B=“至少出现一 个 6 点”,则条件概率 P(A|B),P(B|A)分别是( ) A.6901,12 B.12,9610
5 60 91 1 C.18,91 D.216,2 解析:P(A|B)的含义是在事件 B 发生的条件下,事件 A 发生的概率,即在“至少出现一个 6 点”的条件下,“三 个点数都不相同”的概率,因此“至少出现一个 6 点”有 6×6×6-5×5×5=91 种情况,“至少出现一个 6 点, 且三个点数都不相同”共有 C13×5×4=60 种情况,所以 P(A|B)=6901.P(B|A)的含义是在事件 A 发生的情况下,事件 B 发生的概率,即在“三个点数都不相同”的情况下,“至少出现一个 6 点”的概率,所以 P(B|A)=12.故选 A. 答案:A 7.(2017·山西省四校联考)甲、乙两人有三个不同的学*小组 A,B,C 可以参加,若每人必须参加并且仅能 参加一个学*小组,则两人参加同一个小组的概率为( )
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11 A.3 B.4

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C.15 D.16

解析:∵甲、乙两人参加学*小组的所有事件有(A,A),(A,B),(A,C),(B,A),(B,B),(B,C),(C,A), (C,B),(C,C),共 9 个,其中两个参加同一个小组的事件有(A,A),(B,B),(C,C),共 3 个,∴两人参加同一
31 个小组的概率为9=3.

答案:A 8.(2017·广州市五校联考)ABCD 为长方形,AB=2,BC=1,O 为 AB 的中点,在长方形 ABCD 内随机取一点, 取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为( )

A.π4 B.1-π4

C.π8 D.1-π8

解析:如图,依题意可知所求概率为图中阴影部分与长方形的面积比,即所求概率 P=S长S方阴形影ABCD=2-2π2 =1-π4 . 答案:B 9.一个多面体的直观图和三视图如图所示,点 M 是 AB 的中点,一只蝴蝶在几何体 ADF-BCE 内自由飞翔,则 它飞入几何体 F-AMCD 内的概率为( )

32 A.4 B.3 C.13 D.12 解析:因为 VF-AMCD=13×SAMCD×DF=14a3,VADF-BCE=12a3,
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所以它飞入几何体

F-AMCD

14a3 1 内的概率为12a3=2.

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答案:D

10.某同学同时掷两颗骰子,得到点数分别为

x2 y2 a,b,则椭圆a2+b2=1

的离心率

e>

23的概率是(

)

A.118 B.356

C.16 D.13

解析:当 a>b 时,e=

b2 1-a2>

3 2?

ba<12?

a>2b,符合

a>2b

的情况有:当

b=1

时,有

a=3,4,5,6

四种情况;

当 b=2 时,有 a=5,6 两种情况,总共有 6 种情况,则概率是366=16.同理当 a<b 时,e> 23的概率也为16,

综上可知 e> 23的概率为13.

答案:D 11.(2017·全国卷Ⅱ)一批产品的二等品率为 0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取 100 次,X 表示抽到的二等品件数,则 DX=________. 解析:依题意,X~B(100,0.02),所以 DX=100×0.02×(1-0.02)=1.96. 答案:1.96 12.

如图,点 A 的坐标为(1,0),点 C 的坐标为(2,4),函数 f(x)=x2.若在矩形 ABCD 内随机取一点,则此点取自阴 影部分的概率等于________.

解析:依题意知点

D

的坐标为(1,4),所以矩形

ABCD

的面积

S=1×4=4,阴影部分的面积

S

阴影=4-

2
??1

x2dx

5 =4-13x3|21=4-73=53,根据几何概型的概率计算公式得,所求的概率 P=S阴S影=43=152.

答案:152 13.(2017·福州市综合质量检测)从集合 M={(x,y)|(|x|-1)2+(|y|-1)2<4,x,y∈Z}中随机取一个点 P(x,

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y),若 xy≥k(k>0)的概率为265,则 k 的最大值是________.

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解析:因为 M={(x,y)|(|x|-1)2+(|y|-1)2<4,x,y∈Z},所以 M={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},

所以集合 M 中元素的个数为 5×5=25.因为 xy=1 的情况有 2 种,xy=2 的情况有 4 种,xy=4 的情况有 2 种,所以

要使 xy≥k(k>0)的概率为265,需 1<k≤2,所以 k 的最大值为 2.

答案:2

14.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,H 分别是棱 A1B1,D1C1 上的点(点 E 与 B1 不重合),且 EH∥A1D1,过 EH 的*面与棱 BB1,CC1 相交,交点分别为 F,G.设 AB=2AA1=2a,EF=a,B1E=2B1F.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 内随机选 取一点,则该点取自于几何体 A1ABFE-D1DCGH 内的概率为________.

解析:因为 EH∥A1D1, 所以 EH∥B1C1, 所以 EH∥*面 BCC1B1. 过 EH 的*面与*面 BCC1B1 交于 FG,则 EH∥FG,所以易证明几何体 A1ABFE-D1DCGH 和 EB1F-HC1G 分别是等高的 五棱柱和三棱柱,由几何概型可知,所求概率为:

P=1-VV三长棱方柱体=1-S矩S△形EABB1BF1A1

12× 55a×2 5 5a 9

=1-

2a2

=10.

答案:190

15.一个盒子里装有 7 张卡片,其中有红色卡片 4 张,编号分别为 1,2,3,4;白色卡片 3 张,编号分别为 2,3,4.

从盒子中任取 4 张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).

(1)求取出的 4 张卡片中,含有编号为 3 的卡片的概率;

(2)在取出的 4 张卡片中,红色卡片编号的最大值设为 X,求随机变量 X 的分布列. 解析:(1)由题意知,在 7 张卡片中,编号为 3 的卡片有 2 张,故所求概率为 P=1-CC4547=1-355=67. (2)由题意知,X 的可能取值为 1,2,3,4,且 P(X=1)=CC3347=315, P(X=2)=CC3447=345,

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P(X=3)=CC3547=27, P(X=4)=CC3647=47, 所以随机变量 X 的分布列是

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X1

2

34

P

1 35

4 35

2 7

4 7

16.(2017·新疆第二次适应性检测)2016 年 9 月 20 日在乌鲁木齐隆重开幕的第五届中国—亚欧博览会,其展览

规模为历届之最.按照日程安排,22 日到 25 日为公众开放日.某农产品经销商决定在公众开放日开始每天以每件

50 元购进农产品若干件,以 80 元一件销售;若供大于求,剩余的农产品当天以 40 元一件全部退回;若供不应求,

则立即从其它地方以 60 元一件调剂. (1)若农产品经销商一天购进农产品 5 件,求当天的利润 y(单位:元)关于当天需求量 n(单位:件,n∈N*)的函

数关系式;

(2)农产品经销商记录了 30 天上述农产品的日需求量 n(单位:件),整理得表:

日需求量 3 4 5 6 7

频数

2 3 15 6 4

若农产品经销商一天购进 5 件农产品,以 30 天记录的各日需求量发生的频率作为概率,X 表示当天的利润(单

位:元),求 X 的分布列与数学期望.

解析:(1)当 1≤n≤5 时,y=30n+(5-n)×(-10)=40n-50,

当 n>5 时,y=30×5+(n-5)×20=50+20n,

所以 y=?????4500n+-2500n, ,1n≤>5n,≤n5∈,Nn* ∈N* .

(2)由(1)得:日需求量为 3 时,频数为 2,利润为 70,

日需求量为 4 时,频数为 3,利润为 110,

日需求量为 5 时,频数为 15,利润为 150,

日需求量为 6 时,频数为 6,利润为 170,

日需求量为 7 时,频数为 4,利润为 190,

所以 X 的取值为 70,110,150,170,190,

P(X=70)=115,P(X=110)=110,P(X=150)=12,

P(X=170)=15,P(X=190)=125,

所以 X 的分布列为

X 70 110 150 170 190

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P

1 15

1 10

1 2

1

2

5

15

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所以 E(X)=70×115+110×110+150×12+170×15+190×125=150(元).

17.(2017·山东卷)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:

将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接

受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有 6 名男志愿者 A1,A2,A3,A4,A5,A6 和 4 名女志愿者 B1,B2, B3,B4,从中随机抽取 5 人接受甲种心理暗示,另 5 人接受乙种心理暗示.
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1 但不包含 B1 的概率; (2)用 X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求 X 的分布列与数学期望 EX.

解析:(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1 但不包含 B1 的事件为 M, 则 P(M)=CC51480=158. (2)由题意知 X 可取的值为:0,1,2,3,4,则 P(X=0)=CC51560=412, P(X=1)=CC465C1014=251, P(X=2)=CC365C1024=1201, P(X=3)=CC265C1034=251, P(X=4)=CC165C1044=412. 因此 X 的分布列为

X0

1

2

3

4

P

1 42

5 21

10 21

5 21

1 42

X 的数学期望是

EX=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4)=0+1×251+2×1201+3×251+4×412=

2.

18.(2017·北京卷)为了研究一种新药的疗效,选 100 名患者随机分成两组,每组各 50 名,一组服药,另一

组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标 x 和 y 的数据,并制成下图,其中“ *”表示服药者,“+”

表示未服药者.

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精品试卷

(1)从服药的 50 名患者中随机选出一人,求此人指标 y 的值小于 60 的概率;

(2)从图中 A,B,C,D 四人中随机选出两人,记 ξ 为选出的两人中指标 x 的值大于 1.7 的人数,求 ξ 的分布 列和数学期望 E(ξ );
(3)试判断这 100 名患者中服药者指标 y 数据的方差与未服药者指标 y 数据的方差的大小.(只需写出结论)

解析:(1)由题图知,在服药的 50 名患者中,指标 y 的值小于 60 的有 15 人,所以从服药的 50 名患者中随机

选出一人,此人指标

y

的值小于

60

15 的概率为50=0.3.

(2)由题图可知,A,B,C,D 四人中,指标 x 的值大于 1.7 的有 2 人:A 和 C.

所以 ξ 的所有可能取值为 0,1,2. P(ξ =0)=CC2224=16,P(ξ =1)=CC12C24 12=23, P(ξ =2)=CC2224=16. 所以 ξ 的分布列为

ξ 012

P

1 6

2 3

1 6

故 ξ 的期望 E(ξ )=0×16+1×23+2×16=1.

(3)在这 100 名患者中,服药者指标 y 数据的方差大于未服药者指标 y 数据的方差.

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